О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОСНОВАХ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ

С. А. Элошвили

Применению математических методов в исследованиях теоретической физики, экономики, космологии и даже биологии посвящено огромное количество работ. Что и говорить, когда сама математика родилась из нужд повседневной человеческой деятельности и ныне находится на уровне аксиоматического построения. Конечно, можно аксиоматически обосновать математическую теорию и дальше, с помощью «её превосходительства логики» развить теорию, сделать далеко идущие теоретические заключения. Но чем дальше уходим в сторону математических умозаключений, тем сложнее поддаются они физическим интерпретациям и часто приводят к «физически непонятным» результатам. Это дает повод физикам и другим испытателям науки относится к математике с «недоверием», сказав, что «математика – это лучшее средство самообмана» (Эйнштейн). Не разделяя эту крайнюю точку зрения, хотелось бы поддержать специалистов данной научной направленности в возражении относительно применения методов других научных направлении – в каждой научной области хватает собственных методов исследования, и заимствование методов из другой научной области снижает их престиж. Но, думаю, что сама природа не разделяет себя на «отдельные научные области», и, в сущности, она едина. Укреплению этой мысли способствует тенденция к применению методов точных наук в биологии и возникновение целых научных дисциплин: математическая физика, физическая химия, биохимия, биоматематика и т. д. Так вот, если на пути познаваемости единства природы привлекать научного работника, осведомленного во всех научных направлениях (хотя бы в началах), возражения против других научных дисциплин будут отпадать и в выработанных моделях природа предстанет перед нами в своей «изумительной простоте».

На пути свершения намеченной цели намереваемся математически формализовать вышесказанное и, дальше, логически рассуждая, построить соответствующие модели. Отметим некоторые бросающиеся в глаза детали, подкрепляющие желание математического объединения.

В теоретической и математической физике оперируют малыми приращениями (времени, координаты, температуры, теплоты и т. п.), формализуют физические величины в соответствии с математической терминологией, получают физический закон, записанный в математических соотношениях, переходят к пределу и получают выражение физического закона в виде дифференциальных уравнений (в частных производных). Даже если не подвергать сомнению инвариантность исследуемого закона при соответствующем предельном переходе, решения полученных уравнений (если даже они существуют в явном виде) трудно приспособить к изучению исходной физической задачи, и, как обычно, возвращаются к математическим выражениям записанных в терминах приращений (конечно-разностные схемы). Более того, имеются случаи, когда в математическом выражении физического закона фигурируют и приращения, и предельные величины-производные. Можно попробовать избавиться от иногда весьма сомнительного с физической точки зрения предельного перехода, заменив, тем самым, непрерывность квантовостью, или же охватить и непрерывный, и дискретный случай.

В физической (классической) термодинамике рассматриваются системы, которые (в равновесном состоянии) состоят из отдельных фаз. Во время эксперимента (передача тепла, совершение работы) эти фазы не меняются. Допускаются фазовые переходы для заданного рода веществ, но не химические превращения. Этот «беглый» подход может вызвать у химиков чувство неудовлетворения. Со своей стороны, и химики тоже остаются в долгу перед биологами – ведь, над многообразием химических превращений возвышается «крупица» природного феномена, приводящая к возникновению феномена жизни, являющейся неотъемлемой частью природного совершенства.

Естественно, возникает желание найти между математикой, с одной стороны, и естественными научными дисциплинами, с другой, ту «золотую середину», в одну сторону которой можно сделать математические заключения, а на другой стороне оставаться среди физических величин.

Если допустить, что линия такого «золотого сечения» существует, то она обязательно проходит в началах соответствующих теорий, ибо каждая теория начинается с определения «объекта исследования». Так определяются материальная точка (в механике), термодинамическая система, биологическая система и др. А «исследование» включает измерение сдвига состояния объекта (точки, системы) при движении, передаче тепла и т. д. Получается, что ось «золотой середины» проходит через принцип «разделяй и властвуй» в том смысле, что «разделение» подразумевает определение, выделение, размежевание, а «властвовать» – действовать, сдвигать, превращать, но не больше.

Наш подход вселяет надежду на пути выполнения намеченной цели потому, что основные математические теории тоже начинаются с определения терминов «точка», «действие», «сдвиг».

Наконец, приведем факт, убеждающий в том, что и с термином «разделение» следует обращаться с вниманием и осторожностью взамен той небрежности, которая присутствует в ряде работ (и даже учебниках) по термодинамике.

Возьмем теорию идеального газа. В ней изучаются (в терминах давления р, объема v, абсолютной температуры t) изохорный, изобарный и изотермические процессы, и при этом предполагается, что все остальные процессы можно свести к указанным. Внимательно рассмотрим весь ход получения соответствующих уравнений. Ясно, что в общем случае, параметры p,v,t взаимосвязаны, что мы будем отмечать записью (p,v,t). Когда же, например, p можно зафиксировать (является фиксированным параметром), следует записать для изобарного процесса p (v,t) (не путать со знаком умножения!). Аналогично, записываем: v (p,t) – для изохорного процесса и (р,v) t – для изотермического процесса. Существенным является то обстоятельство, что при классификации процессов (выделение их классов), каждый из них должен попасть в один и только один класс. Это означает, что надо соблюдать принципы несовместимости и полноты. Что касается несовместимости, отметим, что при совмещении, т. е. когда все три параметра можно фиксировать-разделять, получаются разные допустимые, фиксированные состояния процесса, не столь важные с динамической точки зрения. Если исключить из рассмотрения последние, как самые простые «процессы», то останутся несовместимые классы процессов. Принимая во внимание условие полноты, к уже известным, выделенным в термодинамике классам, можно добавить следующие классы процессов: (p v,t), (p t,v) и (v t,p). В случае (p v,t), каждый из параметров р и v разделяется и выражается, как p=f(v)t и v=g(p)t , где f, g – некоторые функции (постоянные при изобарах и изохорах). Такую ситуацию лучше записать в векторной форме: (р v)=(f(v) g(p))t=-i (-g(p) f(v))t=-i H(p v)t, с некоторым оператором Н и оператором i, со свойством i(a,b)=(-b,a) [5]. Вспомнив, что указанные уравнения пишутся для приращений, можно написать для производной по t: d/dt (p v)=-iH(p v). Аналогично получается уравнение типа Шредингера при переходе частица волна с последующим квантованием [см. 5]. Это означает, что вектор p v ведет себя как волна. Аналогично можно поступить и в остальных случаях. Не вникая в детали при сравнении нашей записи с уравнением Шредингера, думается, что эти дополнительные случаи помогут более детально раскрывать сущности изучаемых процессов и заслуживают внимания.

Вышеупомянутые методы взятия приращения (и «иерархий» при многократном повторении) и «разделения» присутствуют в научных рассуждениях в виде количественного способа изучения «движения» – как пространственного, так и временного развития (например, координата-скорость-ускорение, потенциал-сила-напряжение). Надеемся, что они окажутся плодотворными и как качественные способы при раскрытии феномена разумной жизни и биологического развития (онтогенез и филогенез).

Комментарии